Question

已知△ABC中A＞B，给出下列不等式：
（1）sinA＞sinB
（2）cosA＜cosB
（3）sin2A＞sin2B
（4）cos2A＜cos2B
正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

（1）通过A＞B，利用正弦定理，推出sinA＞sinB．（2）由A＞B，通过余弦函数的单调性可得cosA＜cosB；（3）由A＞B通过举反例说明sin2A＞sin2B不正确即可．（4）由A＞B，通过正弦定理以及同角三角函数的基本关系式，以及二倍角的余弦函数推出cos2A＜cos2B．
【解析】
由（1），∵A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB．故（1）正确；
由（2），A＞B，△ABC中，A、B∈（0，π），余弦函数是减函数，所以cosA＜cosB，故（2）正确；
对于（3），例如A=60°，B=45°，满足A＞B，但不满足sin2A=，sin2B=1，所以（3）sin2A＞sin2B，不正确；
对于（4），因为在△ABC中，A＞B，所以a＞b，利用正弦定理可得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB＞0，所以
sin2A＞sin2B，可得 1-2sin2A＜1-2sin2B，由二倍角公式可得：cos2A＜cos2B，故（4）正确．
故选C．