Question

定义一：对于一个函数f（x）（x∈D），若存在两条距离为d的直线y=kx+m₁和y=kx+m₂，使得在x∈D时，kx+m₁≤f（x）≤kx+m₂ 恒成立，则称函数f（x）在D内有一个宽度为d的通道．
定义二：若一个函数f（x），对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，则称f（x）在正无穷处有永恒通道．下列函数：
①f（x）=lnx，②f（x）=，③f（x）=，④f（x）=x²，⑤f（x）=e^-x，
其中在正无穷处有永恒通道的函数的序号是    ．

Answer

根据定义一与定义二，对所给函数进行逐一进行判定，解题的关键看函数的单调性和是否有渐近线等．
【解析】
①f（x）=lnx，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
②f（x）=，随着x的增大，函数值趋近于0，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
③f（x）=，随着x的增大，函数值也在增大，有两条渐近线y=±x，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道；
④f（x）=x2，随着x的增大，函数值也在增大，无渐近线，故不存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处无永恒通道；
⑤f（x）=e-x，随着x的增大，函数值趋近于0，趋近于x轴，对于任意给定的正数ɛ，都存在一个实数x，使得函数f（x）在[x，+∞）内有一个宽度为ɛ的通道，故f（x）在正无穷处有永恒通道．
故答案为：②③⑤