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如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=4...

如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.
(Ⅰ)求证:AB∥平面PCD;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PAC;
(Ⅲ)若M是PC的中点,求三棱锥M-ACD的体积.

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(I)由已知中AB∥DC,结合线面平行的判定定理,可得AB∥平面PCD; (Ⅱ)在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,由已知中DC=1,AB=2,我们根据勾股定理可得BC⊥AC,由PA⊥平面ABCD可得PA⊥BC,结合线面垂直的判定定理即可得到BC⊥平面PAC; (Ⅲ)若M是PC的中点,则M到面ADC的距离是P到面ADC距离,即PA的一半,根据其它已知条件计算出棱锥的底面积和高,代入棱锥体积公式,即可得到答案. 证明:(Ⅰ)∵AB∥CD 又∵AB⊄平面PCDCD⊂平面PCD ∴AB∥平面PCD (Ⅱ)在直角梯形ABCD中,过C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形, ∴AE=DC=1 又AB=2,∴BE=1 在Rt△BEC中,∠ABC=45° ∴CE=BE=1,CB= ∴AD=CE=1 则AC==,AC2+BC2=AB2 ∴BC⊥AC 又PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC.又由PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC (Ⅲ)∵M是PC中点, ∴M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半 ∴.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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