Question

已知曲线C：y=2x²-x³，点P（0，-4），直线l过点P且与曲线C相切于点Q，则点Q的横坐标为    ，切线方程为    ．

Answer

设切点Q的坐标，求出函数的导函数，把切线的斜率用点Q的横坐标表示，写出切线方程，然后把P点坐标代入切线方程，则点Q的横坐标可求，继而求出切线方程．
【解析】
设切点Q（a，2a2-a3），
因为y=2x2-x3，所以y′=（2x2-x3）′=4x-3x2，
所以直线L的斜率为4a-3a2，直线L的方程为：y-2a2+a3=（4a-3a2）（x-a），
因为直线过P（0，-4），所以-4-2a2+a3=-a（4a-3a2），
即（a+1）（a2-2a+2）=0，所以a=-1，
切线的斜率为：4×（-1）-3×（-1）2=-7，
切线方程为：y-（-4）=-7（x-0），即7x+y+4=0．
故答案为-1；7x+y+4=0．