Question

小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售收入为25-x万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．
（1）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
（2）在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入-总支出）

Answer

（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；
（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．
【解析】
（1）设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y=25x-[6x+x（x-1）]-50=-x2+20x-50（0＜x≤10，x∈N）
由-x2+20x-50＞0，可得10-5＜x＜10+5
∵2＜10-5＜3，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；
（2）∵利润=累计收入+销售收入-总支出，
∴二手车出售后，小张的年平均利润为=19-（x+）≤19-10=9
当且仅当x=5时，等号成立
∴小张应当再第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．