Question

函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性；
（Ⅲ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．

Answer

（Ⅰ）若奇函数在x=0处有定义，则f（0）=0，代入即可得b，再由代入即可得a值；
（Ⅱ）利用单调性定义即可证明；
（Ⅲ）利用函数的单调性和奇偶性将不等式中的f脱去，等价转化为关于t的不等式组，解之即可．
【解析】
（Ⅰ）∵函数是定义在（-1，1）的奇函数
∴f（0）=0，∴b=0
∵．
∴=，∴a=1
∴；
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，1）上为增函数，证明如下
在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，
∴f（x1）-f（x2）=-=；
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数；
（Ⅲ）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）
∴f（t-1）＜f（-t） 
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
∴0＜t＜．