Question

定义函数f_n（x）=（1+x）ⁿ-1，x＞-2，x∈N^*．
（1）求证：f_n（x）≥nx；
（2）是否存在区间[a，0]（a＜0），使函数h（x）=f₃（x）-f₂（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，0]，若不存在，说明理由．

Answer

（1）令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx，求出导函数，利用导数研究函数的增减性得到函数的最小值为g（0）=0，即可得证；
（2）h（x）=f3（x）-f2（x）=x（1+x）2，x∈[a，0]（a＜0），求导函数，分类讨论，确定函数的最值，利用函数h（x）=f3（x）-f2（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，即可求得结论．
（1）证明：令g（x）=fn（x）-nx=（1+x）n-1-nx．
则g'（x）=n（x+1）n-1-n=n[（x+1）n-1-1]，
∴当-2＜x＜0时，g'（x）＜0；当x＞0时g'（x）＞0．
∴g（x）在（-2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．
∴当x=0时，g（x）min=g（0）=0，即g（x）≥g（x）min=g（0）=0，
∴fn（x）≥nx；
（2）【解析】
h（x）=f3（x）-f2（x）=x（1+x）2，x∈[a，0]（a＜0），
∴h'（x）=（1+x）2+2x（1+x）=（1+x）（1+3x），
令h'（x）=0，得x=-1或
∵h（-1）=h（0）=0，h（）=h（）=-
∴若，则函数在[a，0]上单调增，∴h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）2=ka，∴k=（1+a）2∈（）；
若，则h（）=ka，h（0）=0，∴k=-∈；
若，则h（a）=ka，h（0）=0，∴a（1+a）2=ka，∴k=（1+a）2∈（，+∞）
综上知，k∈[，+∞）
∴最小的k值为，相应的区间为[，0]