Question

设f（x）=x³+ax²+bx+c，又k是一个常数，已知当k＜0或k＞4时，f（x）-k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）-k=0有三个相异实根，现给出下列命题：
（1）f（x）-4=0和f'（x）=0有且只有一个相同的实根．
（2）f（x）=0和f'（x）=0有且只有一个相同的实根．
（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）-1=0的任一实根．
（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）-2=0的任一实根．
其中错误命题的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

因为函数是一元三次函数，所以是双峰函数，根据题目给出的函数在不同范围内实根的情况，画出函数f（x）的简图，然后借助于图象，逐一分析四个命题即可得到正确答案．
【解析】
因为f（x）=x3+ax2+bx+c，且f（x）-k=0在k＜0或k＞4时只有一个实数根，在0＜k＜4时有三个实数根，
所以其图象近似如下图，

因为f′（x）=0的根是函数f（x）的极值点的横坐标，
由图象可知，f（x）-4=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根，所以命题（1）正确；
f（x）=0和f′（x）=0有且只有一个相同的实根，所以命题（2）正确；
f（x）+3=0的实根小于f（x）-1=0的实根，所以命题（3）不正确；
f（x）+5=0的实根小于f（x）-2=0的实根，所以命题（4）正确．
故选D．