Question

函数是常数），曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=1．
（1）求m，n．
（2）求f（x）的单调区间．
（3）设F（x）=ex•f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明x＞0时，恒成立．

Answer

（1）由是常数），知，x∈（0，+∞），再由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=1，能求出m，n．
（2）由，x∈（0，+∞），设k（x）=，则，由此能够求出f（x）的单调区间．
（3）由F（x）=ex•f′（x），知F（x）=，x∈（0，+∞）设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），则h′（x）=-（lnx+2），由此能够证明x＞0时，恒成立．
【解析】
（1）∵是常数），
∴，x∈（0，+∞）
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=1，
∴，
解得m=1，n=1-．
（2）由（1）知，，x∈（0，+∞），
设k（x）=，
则，
即k（x）在（0，+∞）上是减函数，
由k（1）=0知，当0＜x＜1时，k（x）＞0，从而f′（x）＞0．
当x＞1时，k（x）＜0，从而f′（x）＜0．
综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．
（3）∵F（x）=ex•f′（x），
∴F（x）=，x∈（0，+∞）
设h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），则h′（x）=-（lnx+2），
∴当x∈（0，+∞）时，h（x）≤h（e-2）=1+e-2，
又当x∈（0，+∞）时，0＜＜e，
∴x∈（0，+∞）时，，
故x＞0时，恒成立．