Question

已知椭圆M的中心在原点，离心率为，左焦点是F₁（-2，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P是椭圆M上的一点，且点P与椭圆M的两个焦点F₁、F₂构成一个直角三角形，若PF₁＞PF₂，求的值．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用椭圆离心率为，左焦点是F1（-2，0），求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）分类讨论，求出PF1，PF2，即可求的值．
【解析】
（1）设椭圆的方程为（a＞b＞0），则
∵椭圆离心率为，左焦点是F1（-2，0）．
∴，∴a=4，∴=
∴椭圆的方程为；
（2）当PF2⊥x轴时，P的横坐标为2，其纵坐标为±3，∴=；
当PF1⊥PF2 时，设PF2=m，则PF1=2a-m=8-m，4＞m＞0，由勾股定理可得4c2=m2+（8-m）2，即m2-8m+24=0，方程无解
综上，=．