Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，一条直线l经过点F₁与椭圆交于A，B两点．
（1）求△ABF₂的周长；
（2）若l的倾斜角为，求△ABF₂的面积．

Answer

（1）由椭圆的定义，得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，又AF1+BF1=AB，所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．再由a2=4，能导出△ABF2的周长．
（2）由F1（-1，0），AB的倾斜角为，知直线AB的方程为y=x+1．由消去x，得7y2-6y-9=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），借助韦达定理能够求出△ABF2的面积．
【解析】
（1）由椭圆的定义，
得AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a，
又AF1+BF1=AB，
所以，△ABF2的周长=AB+AF2+BF2=4a．
又因为a2=4，
所以a=2，
故△ABF2的周长为8．（6分）
（2）由条件，得F1（-1，0），
因为AB的倾斜角为，所以AB斜率为1，
故直线AB的方程为y=x+1．（8分）
由，
消去x，得7y2-6y-9=0，（10分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
解得．
所以（14分）