Question

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Answer

（1）由f（x）在（0，1）上递增，可得当x∈（0，1）时，f′（x）=2x-a+≥0恒成立，即a≤2x+，进而将问题转化为函数恒成立问题，构造函数g（x）=2x+，求出x∈（0，1）时的最值，可得答案．
（2）由（1）可得a=1时，f（x）在（0，1）上递增，即在区间（0，1）上，f（x）＞f（0），即ln（x+1）＞x-x2，进而利用对数的运算性质，可证得结论．
【解析】
（1）f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=2x-a+
∵f（x）在（0，1）上递增，
∴当x∈（0，1）时，f′（x）=2x-a+≥0恒成立，
即a≤2x+
令g（x）=2x+，则当x∈（0，1）时，g′（x）=2-＞0，
∴g（x）在（0，1）上递增，
∴g（x）在（0，1）上的最小值为g（0）=1
∴a≤1
证明：（2）由（1）得：当a=1时，f（x）在（0，1）上递增
∴在（0，1）上，f（x）＞f（0）⇒ln（x+1）＞x-x2
令x=（n≥2），则
∴