Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax（a＜1）．
（Ⅰ） 讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ） 证明：（n∈N^*）．

Answer

（I）根据已知中的函数解析式，求出函数的导函数的解析式，进而分0＜a＜1，a=0，-1＜a＜0，a≤-1四种情况，分别讨论导函数取正值，和导函数取负值的区间，即可判断出函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）由（ I）中结论可得a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，即x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x2）＜x，对原不等式两边取自然对数，利用放缩法，可得原不等式左边满足，进而可得原不等式成立．
【解析】
（ I）∵
①若a=0时，
∵
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若0＜a＜1时，
f′（x）＞0⇒ax2+2x+a＞0．
∴f（x）在单调递减，在和上单调递增．
③若时，
f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减；
④若-1＜a＜0时，
由f′（x）＞0⇒ax2+2x+a＞0
再令f′（x）＜0，可得或，
∴f（x）在单调递增，在和上单调递减
综上所述，
若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减．；
若-1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减，上单调递减
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减
若0＜a＜1时，f（x）在单调递减，在和上单调递增．
（ II）由（ I）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，
∴=；
∴．命题得证．