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已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2,a1=1. (...

已知数列{an}中,Sn是它的前n项和,并且Sn+1=4an+2,a1=1.
(1)设bn=an+1-2an,求证{bn}是等比数列
(2)设manfen5.com 满分网,求证{Cn}是等差数列
(3)求数列{an}的通项公式及前n项和公式
(1)利用递推公式可把已知转化为an+1=4an-2an-1,从而有,从而可得数列{bn}为等比数列 (2)由(1)可得bn=an+1-2an=3•2n-1,要证数列{cn}为等差数列⇔为常数,把已知代入即可 (3)由(2)可求an=(3n-4)•2n-2,代入sn+1=4an+2可求sn+1,进而求出sn 【解析】 (1)Sn+1=Sn+an+1=4an-1+2+an+1 ∴4an+2=4an-1+2+an+1 ∴an+1-2an=2(an-2an-1) 即:且b1=a2-2a1=3 ∴{bn}是等比数列 (2){bn}的通项bn=b1•qn-1=3•2n-1 ∴ 又 ∴{Cn}为等差数列 (3)∵Cn=C1+(n-1)•d ∴ ∴an=(3n-1)•2n-2(n∈N*) Sn+1=4•an+2=4•(3n-1)•2n-2+2=(3n-1)•2n+2 ∴Sn=(3n-4)2n-1+2(n∈N*)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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