Question

已知函数f（x）对任意实数x，y均有f（x）+f（y）=2f，f（0）≠0，且存在非零常数c，使f（c）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求证f（x）是周期函数，并求出f（x）的一个周期．

Answer

（1）令x=0，y=0，并代入有，即可求出f（0）的值；
（2）令y=-x，代入求得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），即可证得结果；
（3）根据存在非零常数c，使f（c）=0及周期函数的定义得到f（2c+x）+f（x）==0，再验证f（4c+x）=f（x）即可证明结论．
【解析】
（1）∵任意x，y∈R均有f（x）+f（y）=，令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0），
∵f（0）≠0，∴f（0）=1．
（2）令y=-x，
可得f（x）+f（-x）=2f（0）f（x），
有f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数、
（3）∵f（2c+x）+f（x）=，
∵f（c）=0，∴f（2c+x）+f（x）=0，
即f（2c+x）=-f（x），
∴f（x）=-f（2c+x）=-[-f（2c+（2c+x））]=f（4c+x），
∴f（x）的周期为4c．