Question

在等差 数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求T_n；
（3）设b_n=（n∈N^*），B_n=b₁+b₂+…+b_n（n∈N^*），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*均有B_n＞成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由a1=8，a4=2求出公差，代入通项公式、前n项和即得结论；
（2）判断哪几项为非负数，再分类讨论，即可求得Tn；
（3）求得数列的通项，利用裂项法求和，求出最小值，再解不等式，即可得到结论．
【解析】
（1）∵a1=8，a4=2，∴公差d==-2，∴an=a1+（n-1）d=10-2n
∴Sn==n（9-n）；
（2）∵an=10-2n≥0，∴n≤5
∴数列{an}的前5项为非负数，后面的项为负数．
∴n≤5时，Tn=n（9-n）；
n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-Sn+2S5=n（n-9）+20=n2-9n+20
∴Tn=；
（3）bn==，∴Bn=b1+b2+…+bn=（1-+-+…+）=
∴n=1时，Bn取得最小值
∵对任意n∈N*均有Bn＞成立，∴＞，∴m＜8
∴使得对任意n∈N*均有Bn＞成立的最大整数为7．