Question

如图，M是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，，四边形OMQP的面积为S，函数．
（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，求c的值．

Answer

（1）由题设条件知M（1，0），P（cosx，sinx），故=（1+cosx，sinx），•=1+cosx，S=sinx，由此能求出函数f（x）的表达式及单调递增区间；
（2）根据f（A）=3可求出A，然后利用正弦定理求出角B，最后根据勾股定理可求出c的值．
【解析】
（1）∵点M是单位圆O（O是坐标原点）与X轴正半轴的交点，
∴M（1，0），
∵点P在单位圆上，∠MOP=x，OQ=OP=OM，
∴P（cosx，sinx），
∴=（1+cosx，sinx），•=1+cosx，
∵S=sinx，
∴f（x）=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，0＜x＜π，
令-+2kπ≤x+≤+2kπ，
∴-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z．
∵0＜x＜π，
∴函数f（x）的单递增调区间为（0，]．
（2）∵f（A）=3∴2sin（A+）+1=3∴sin（A+）=1
在△ABC中，0＜A＜π，＜A+＜，
∴A+=，A=
由a=2，b=2及正弦定理得
即∴sinB=
∵0＜B＜π，B＜A∴B=∴C=
∴c2=a2+b2=16
∴c=4