Question

已知曲线f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值为    ．

Answer

由导数的几何意义先求切线的斜率k，可得过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得xn，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．
【解析】
求导函数，可得f′（x）=（n+1）xn，
设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，
∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=，
∴x1•x2…x2010=××…×=，
∴log2011x1+log2011x2+…+log2011x2010
=log2011（x1×x2×…×x2010）
==-1．
故答案为：-1．