Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求的值；
（2）若b=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer

利用余弦定理表示出cosB，将已知的等式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，
（1）由B的度数求出cosB的值，将所求式子第一项中的角利用三角形的内角和定理变形，并利用诱导公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosB的值代入即可求出值；
（2）由B的度数求出sinB的值，将b的值代入已知的等式并利用基本不等式求出ac的最大值，由ac的最大值及sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．
【解析】
∵a2+c2-b2=ac，
∴cosB===，
又B为三角形的内角，
∴B=，
（1）原式=sin2+cos2B=cos2+cos2B=（1+cosB）+2cos2B-1
=（1+）+2×（）2-1=1+；
（2）∵b=2，
∴ac=a2+c2-b2=a2+c2-4≥2ac-4，
∴ac≤=4（2+）（当且仅当a=c=+时取等号），
∴S△ABC=acsinB=ac≤2+，
则△ABC面积的最大值为2+．