Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，g（-1））处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2对于任意x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值，由此能求出a的值．
（Ⅱ）由g′（x）=3x2-2x-1，知g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1．故点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，由此能求出函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程．
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立．由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）g′（x）=3x′+2ax-1，由题意g（x）在x=1处取得极值，
将x=1代入方程3x2+2ax-1=0，得a=-1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：g′（x）=3x2-2x-1，
g（x）=x3-x2-x+2，g（-1）=1．
∴g′（-1）=4，
∴点P（-1，1）处的切线斜率k=g′（-1）=4，
函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程为：
y-1=4（x+1），即4x-y+5=0．…（8分）
（Ⅲ）2f（x）≤g′（x）+2．
即2xlnx≤3x2+2ax+1对x∈（0，+∞）上恒成立．
可得a≥lnx-对x∈（0，+∞）上恒成立．
设h（x）=lnx-x-，则=-．
令h′（x）=0，得x=1，x=-（舍）．
当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0．
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，∴a≥-2
∴a的取值范围是[-2，+∞）．…（13分）