Question

已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a^x-a^-x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=    ．

Answer

根据题意，将x=2、x=-2分别代入f（x）+g（x）=ax-a-x+2可得，f（2）+g（2）=a2-a-2+2，①和f（-2）+g（-2）=a-2-a2+2，②，结合题意中函数奇偶性可得f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），与②联立可得-f（2）+g（2）=a-2-a2+2，③，联立①③可得，g（2）、f（2）的值，结合题意，可得a的值，将a的值代入f（2）=a2-a-2中，计算可得答案．
【解析】
根据题意，由f（x）+g（x）=ax-a-x+2，
则f（2）+g（2）=a2-a-2+2，①，f（-2）+g（-2）=a-2-a2+2，②
又由f（x）为奇函数而g（x）为偶函数，有f（-2）=-f（2），g（-2）=g（2），
则f（-2）+g（-2）=-f（2）+g（2），
即有-f（2）+g（2）=a-2-a2+2，③
联立①③可得，g（2）=2，f（2）=a2-a-2
又由g（2）=a，则a=2，
f（2）=22-2-2=4-=；
故答案为．