Question

函数．
（1）判断并证明函数f（x）的单调性；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）解不等式f（1-m）+f（2m-3）＜0．

Answer

（1）在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，计算＜0，即可证明函数f（x）在R上为单调增函数．
（2）根据函数的定义域为R，且f（-x）=-f（x），从而得到函数f（x）为奇函数．
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得 f（1-m）＜f（3-2m），1-m＜3-2m，由此解得m的范围．
【解析】
（1）函数f（x）在R上为单调增函数．
证明：∵=，在定义域中任取两个实数x1，x2，且x1＜x2，…（2分）
则．…（4分）
∵，
从而f（x1）-f（x2）＜0，∴函数f（x）在R上为单调增函数．…（6分）
（2）∵函数的定义域为R，且 ，
∴函数f（x）为奇函数．…（11分）
（3）由f（1-m）+f（2m-3）＜0，可得f（1-m）＜-f（2m-3）．
因为f（x）为奇函数，∴f（1-m）＜f（3-2m），…（14分）
∴1-m＜3-2m，解得m＜2，
∴原不等式的解集为{m|m＜2}．…（16分）