Question

已知函数f（x）在R上为奇函数，当x≥0时，f（x）=x²+4x．
（1）求f（x）的解析式，并写出f（x）的单调区间（不用证明）；
（2）若f（a²-2）+f（a）＜0，求实数a的取值范围．

Answer

（1）先设 x＜0，则-x＞0这样可以就可以利用x≥0时的解析式，再根据奇偶性就可求出f（x）的解析式，再写出单调区间．
（2）要把不等式进行等价转化，先移项，再根据奇函数转化，再根据单调性去掉函数符号，然后解关于a的不等式就可求出范围．
【解析】
（1）设 x＜0，则-x＞0
∴f（-x）=（-x）2+4（-x）=x2-4x
又∵f（x）在R上为奇函数
∴f（x）=-f（-x）=-（x2-4x）=-x2+4x
∴f（x）=  单调递增区间是（-∞，+∞）
（2）原不等式等价于：f（a2-2）＜-f（a）
∵f（x）在R上为奇函数
∴上式等价于：f（a2-2）＜f（-a）   ①
又∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增
①等价于：a2-2＜-a，即a2+a-2＜0，解得：-2＜a＜1
故答案为：（-2，1）