Question

函数f（x）=其中P，M为实数集R的两个非空子集，又规定f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．给出下列四个判断其中正确的序号为    ：
①若P∩M=∅，则f（P）∩f（M）=∅；   
②若P∩M≠∅，则f（P）∩f（M）≠∅；
③若P∪M=R，则f（P）∪f（M）=R；  
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．

Answer

根据函数f（x）=，可借助两个函数y=x与y=-x图象来研究，分析可得答案．
【解析】
由题意知函数f（P）、f（M）的图象如图所示．
设P=[x2，+∞），M=（-∞，x1]，
∵|x2|＜|x1|，f（P）=[f（x2），+∞），f（M）=[f（x1），+∞），∴P∩M=∅．
而f（P）∩f（M）=[f（x1），+∞）≠∅，故①错误．
同理可知②正确．
设P=[x1，+∞），M=（-∞，x2]，
∵|x2|＜|x1|，则P∪M=R．
f（P）=[f（x1），+∞），f（M）=[f（x2），+∞），
f（P）∪f（M）=[f（x1），+∞）≠R，故③错误．
④若P∪M≠R，则f（P）∪f（M）≠R．这是不对的
∵f（x）是函数，对于定义域内的值x，都有唯一确定的值与之对应．
∴在x∈P∩M的时候，x=-x，即x只能为0，
也就是说，P和M若有交集，则只能为{0}
若要让f（x）取到R上每一个点，就要求定义域在R上不能有遗漏，
∴P∪M≠R时，必定f（P）∪f（M）≠R，故④正确
故答案为：②④