Question

已知f（x）=log_ax（a＞0，且a≠1）
（Ⅰ） 解不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0；
（Ⅱ） 若f（x）在[2，4]上的最大值比最小值大1，求a的值．

Answer

（Ⅰ）不等式等价于 loga （x+1）＞loga （-x+1），分0＜a＜1和a＞1两种情况，分别求得不等式的解集．
（Ⅱ）（1）当0＜a＜1时，利用函数的单调性可得loga2-loga4=1，由此求得a的值．当 a＞1时，利用函数的单调性可得 loga4-loga2=1，由此求得a的值．综合可得结论．
【解析】
（Ⅰ）不等式：f（x+1）-f（1-x）＞0 即  即 loga （x+1）-loga （-x+1）＞0，-
亦即 loga （x+1）＞loga （-x+1）…1分
（1）当0＜a＜1时，不等式等价于，解得-1＜x＜0…3分
（2）当a＞1时，上述不等式  ，解得 0＜x＜1…5分
综上可得，当0＜a＜1时，不等式的解集为（-1，0）； 当a＞1时，不等式的解集为（0，1）．
（Ⅱ）（1）当0＜a＜1时，
y=loga x 在[2，4]上是减函数，故函数的最小值为f（1），最大值为f（2），
由题设得loga2-loga4=1，即 =1，∴a=…7分
（2）当 a＞1时，y=loga x 在[2，4]上是增函数，故函数的最小值为f（2），最大值为f（4），
由题设得 loga4-loga2=1，即loga2=1，∴a=2．
综上得 a=2 或a=…9分．