Question

在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．
（I）求角C的值；
（II）若a²+b²=6（a+b）-18，求△ABC的面积．

Answer

（I）由正弦定理，将已知等式的正弦转化成边，可得a（a-b）+b2=c2，即a2+b2-c2=ab．再用余弦定理可以算出C的余弦值，从而得到角C的值；
（II）将a2+b2=6（a+b）-18化简整理，得a=b=3，结合C=可得△ABC是边长为3的等边三角形，由此不难用等边三角形的面积计算公式求出△ABC的面积S．
【解析】
（I）由题得a（sinA-sinB）+bsinB=csinC，
由正弦定理得a（a-b）+b2=c2，即a2+b2-c2=ab．
∴余弦定理得cosC==，
∵C∈（0，π），
∴C=．…（6分）
（II）∵a2+b2=6（a+b）-18，∴（a-3）2+（b-3）2=0，从而a=b=3．
∵C=，
∴△ABC是边长为3的等边三角形，可得△ABC的面积S=×32=…（12分）