Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t∈R．
（1）当t=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程．
（2）当t∈（0，+∞），求f（x）的极值．

Answer

（1）当t=1时，求出函数f（x），利用导数的几何意义求出x=0处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程；
（2）根据f'（0）=0，解得x=-t或x=，由t＞0，列表讨论能求出f（x）的极值．
【解析】
（1））当t=1时，f（x）=4x3+3x2-6x，f（0）=0，
f'（x）=12x2+6x-6（2分）f'（0）=-6．
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-6x．（4分）
（2）【解析】
f'（x）=12x2+6tx-6t2，令f'（x）=0，解得x=-t或x=．（5分）
∵t＞0，∴-t＜，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

 x  （-∞，-t） -t  （-t，）    （，+∞）
 f′（x） +  0 -  0 +
  ↑  极大值 ↓  极小值 ↑

∴x=-t时，f（x）取极大值f（-t）=-4t3+3t3+6t3+t-1=5t3+t-1．
x=时，f（x）取极小值f（）=4×+3t×-6t2×+t-1=-+t-1．