Question

椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆交于A、B两点．
（1）如果点A在圆x²+y²=c²（c为椭圆的半焦距）上，且|F₁A|=c，求椭圆的离心率；
（2）若函数，（m＞0且m≠1）的图象，无论m为何值时恒过定点（b，a），求的取值范围．

Answer

（1）根据题意判断出∴△AF1F2为一直角三角形，利用勾股定理求得|F2A|利用椭圆的定义求得|AF1|+|AF2|=2a，进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）利用函数的图象恒过定点，求得a和b，则c可求得，求得椭圆的两焦点，先看AB⊥x轴时，求得A，B的坐标，进而求得的坐标，则可求得；再看AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式求得k的范围，设出A，B的坐标，进而表示出x1+x2和x1x2，的坐标进而求得的表达式，利用k的范围确定的范围．
【解析】
（1）∵点A在圆x2+y2=c2上，
∴△AF1F2为一直角三角形，
∵
由椭圆的定义知：|AF1|+|AF2|=2a，∴c+2c=2a
∴e===-1
（2）∵函数x的图象恒过点
∴，
点F1（-1，0），F2（1，0），
①若AB⊥x轴，则A，
∴
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则AB的方程为y=k（x+1）
由消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0（*）
∵△=8k2+8＞0，∴方程（*）有两个不同的实根．
设点A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1，x2是方程（*）的两个根
，
=
∵
，
由①②知．