Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，（n=1，2，3…）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记S_n=1•a₁+3•a₂+…+（2n-1）a_n，求S_n．

Answer

（1）由Sn=2an-2，可得当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，两式作差即可求数列{an}的相邻两项之间的关系，找到规律即可求出通项；
（2）由（1）求出Sn的表达式，进而根据其各项由一个等差数列乘一个等比数列构成，故选用错位相减法，得到答案．
【解析】
（1）∵Sn=2an-2，
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-2，
an=Sn-Sn-1=2an-2-（2an-1-2）…..（2分）
即an=2an-2an-1，即an=2an-1，
∵an≠0
∴=2…（4分）
∵a1=S1，
∴a1=2a1-2，即a1=2
∴an=2n    …（6分）
（2）Sn=1•a1+3•a2+…+（2n-1）an
=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n ①…（7分）
∴2Sn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1 ②…（8分）
①-②得-Sn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n ）-（2n-1）×2n+1 …（9分）
即-Sn=1×2+（23+24+…+2n+1 ）-（2n-1）×2n+1       …（10分）
∴Sn=（2n-3）2n+1+6                  …..（12分）