Question

如图，简单组合体ABCDPE，其底面ABCD为边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC=2．
（1）若N为线段PB的中点，求证：EN∥平面ABCD；
（2）求点D到平面PBE的距离．

Answer

解法1（几何法）：（1）连接AC与BD交于点F，连接NF，根据中位线定理及平行四边形判定定理和性质，可得NE∥FC，进而由线面平行的判定定理得到EN∥平面ABCD
（2）连接DE，可得BC是三棱锥B-PDE的高，利用等积法，根据棱锥D-PBE与棱锥B-PDE是同一棱锥，体积相等，可求出点D到平面PBE的距离
解法2（向量法）：（1）以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系，根据直线EN的方向向量与平面ABCD的法向量垂直，可证得EN∥平面ABCD；
（2）求出平面PBE的法向量为，根据点D到平面PBE的距离，可得点D到平面PBE的距离
【解析】
（1）解法1（几何法）：
连接AC与BD交于点F，连接NF，…..（1分）
∵F为BD的中点，
∴NF∥PD且NF=PD….3分
又EC∥PD，且EC=PD，
∴NF∥EC，且NF=EC，
∴四边形NFCE为平行四边形，…．…4分
∴NE∥FC．…．…．…．….5分
∵NE⊄平面ABCD，且FC⊂平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）连接DE，由题PD⊥BC，且DC⊥BC，故BC是三棱锥B-PDE的高，
在直角梯形PDCE中，可求得，且由（1）所以EN⊥PB…9分
，…．…．…11分
又，…．…．…12分
设所求的距离为d，则…．…．…..14分
解法2（向量法）：
（1）以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图所示：…．…1分，
则B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），N（1，1，1），…．…．…．…2分
∴=（1，-1，0），…..3分

∴EN⊥PD，…．…．…4分
又是平面ABCD的法向量
∵NE⊄平面ABCD
所以EN∥平面ABCD；….6分
（2）由（1）可知，….8分
设平面PBE的法向量为
由得…．…10分
解得其中一个法向量为…..11分
点D到平面PBE的距离为…14分