Question

已知函数f（x）=x²-（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．
（1）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）当a=4时，是否存在实数m，使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）设定义在D上的函数y=h（x）的图象在点P（x，h（x））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x时，若在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4，试问y=f（x）是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1），由此能求出f（x）的单调递增区间．
（2）当a=4时，，其中x＞0，令，方程无解，由此推导出不存在实数m使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线．
（3）当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为．由此能推导出y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．
【解析】
（1）∵f（x）=x2-（a+2）x+alnx，
∴，其中x＞0，
令f'（x）=0，得x=1或．
∵a＞2，∴．
当0＜x＜1及时，f'（x）＞0；
当时，f'（x）＜0；
∴f（x）的单调递增区间为．
（2）当a=4时，，其中x＞0，
令，方程无解，
∴不存在实数m使得直线6x+y+m=0恰为曲线y=f（x）的切线．
（3）由（2）知，当a=4时，函数y=f（x）在其图象上一点P（x，f（x））处的切线方程为，
设，
则φ（x）=0．

若在上单调递减，
∴时，φ（x）＜φ（x）=0，此时；
若在上单调递减，
∴时，φ（x）＞φ（x）=0，此时．
∴y=f（x）在上不存在“类对称点”．
若，
∴φ（x）在（0，+∞）上是增函数，
当x＞x时，φ（x）＞φ（x）=0，
当x＜x时，φ（x）＜φ（x）=0，故．
即此时点P是y=f（x）的“类对称点”
综上，y=f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．