Question

如图，椭圆C：+=1的右顶点是A，上下两个顶点分别为B，D，四边形DAMB是矩形（O为坐标原点），点E，P分别是线段OA，MA的中点．
（1）求证：直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
（2）过点B的直线l₁，l₂与椭圆C分别交于R，S（不同于B点），且它们的斜率k₁，k₂满足k₁•k₂=-求证：直线SR过定点，并求出此定点的坐标．

Answer

（1）确定直线DE与BP的直线方程，可得交点坐标，满足椭圆方程，可得结论；
（2）设出直线方程，求得R，S的坐标，利用R，S关于原点O对称，即可得到结论．
证明：（1）由题意，A（4，0），B（0，2），D（0，-2），E（2，0），P（4，1），
则直线DE的方程为y=x-2，直线BP的方程为
联立方程，可得直线DE与BP的交点坐标为（）
∵椭圆C：+=1，∴（）满足方程，
∴直线DE与直线BP的交点在椭圆C上．
（2）直线BR的方程为y=k1x+2
解方程组，可得或
∴R的坐标为（，）
∵k1•k2=-，∴直线BS的斜率k2=-，∴直线BS的方程为y=-x+2
解方程组得或
∴S的坐标为（，）
∴R，S关于原点O对称
∴R，O，S三点共线
∴直线SR过定点，定点的坐标为O（0，0）．