Question

设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p=2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a₃=3，a₉=15，求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂-a₁=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^*，都有S_n≠0，且．若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当k=0，b=3，p=-4时，3（a1+an）-4=2（a1+a2…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2…+an），再写一式，两式相减，可得数列{an}是等差数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（3）确定数列{an}的通项，利用{an}是“封闭数列”，得a1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{an}的首项a1的所有取值．
【解析】
（1）当k=0，b=3，p=-4时，3（a1+an）-4=2（a1+a2…+an），①
用n+1去代n得，3（a1+an+1）-4=2（a1+a2…+an+an+1），②
②-①得，3（an+1-an）=2an+1，an+1=3an，（2分）
在①中令n=1得，a1=1，则an≠0，∴，
∴数列{an}是以首项为1，公比为3的等比数列，
∴a1+a2+a3+…+an=．（4分）
（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+an）=2（a1+a2…+an），③
用n+1去代n得，（n+1）（a1+an+1）=2（a1+a2…+an+an+1），④
④-③得，（n-1）an+1-nan+a1=0，⑤（6分）
用n+1去代n得，nan+2-（n+1）an+1+a1=0，⑥
⑥-⑤得，nan+2-2nan+1+nan=0，即an+2-an+1=an+1-an，（8分）
∴数列{an}是等差数列．
∵a3=3，a9=15，∴公差，∴an=2n-3．（10分）
（3）由（2）知数列{an}是等差数列，∵a2-a1=2，∴an=a1+2（n-1）．
又{an}是“封闭数列”，得：对任意m，n∈N*，必存在p∈N*使a1+2（n-1）+a1+2（m-1）=a1+2（p-1），
得a1=2（p-m-n+1），故a1是偶数，（12分）
又由已知，，故．
一方面，当时，Sn=n（n+a1-1）＞0，对任意n∈N*，都有．
另一方面，当a1=2时，Sn=n（n+1），，则，
取n=2，则，不合题意．（14分）
当a1=4时，Sn=n（n+3），，则，
当a1≥6时，Sn=n（n+a1-1）＞n（n+3），，，
又，
∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．（16分）