Question

如图是一个直三棱柱（以A₁B₁C₁为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC已知A₁B₁=B₁C₁=1，∠A₁B₁C₁=90°，AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
（Ⅰ）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AC-A₁的大小．

Answer

（Ⅰ）作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D，根据梯形中位线定理及平行四边形判定定理，可得四边形ODC1C是平行四边形，进而OC∥C1D，根据线面平行的判定定理，可得OC∥平面A1B1C1．
（Ⅱ）以B1为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量和平面AA1C1C的一个法向量，代入向量夹角公式，求出二面角B-AC-A1平面角的余弦值，进而可得二面角B-AC-A1的大小．
证明：（Ⅰ）作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D
则OD∥BB1∥CC1
因为O是AB的中点，
所以
则四边形ODC1C是平行四边形，
因此有OC∥C1D，C1D⊂平面C1B1A1
且OC⊄平面C1B1A1，
则OC∥平面A1B1C1…6′
（Ⅱ）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，
则A（0，1，4），B（0，0，2），C（1，0，3），
∴，，
设是平面ABC的一个法向量，则
则，得：
取x=-z=1，
显然，为平面AA1C1C的一个法向量
则，
结合图形可知所求二面角为锐角
所以二面角B-AC-A1的大小是30°…12′