Question

已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，AB=1，PA=t（t＞0），当t变化时，直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是    ．

Answer

把图形补成直棱柱，作DE⊥CD1，则DE⊥平面PBCD1，故∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，进而可求其正弦值，利用基本不等式，可求其范围．
【解析】
把图形补成直棱柱，则
∵BC⊥平面DCC1D1，∴平面PBCD1⊥平面DCC1D1，

作DE⊥CD1，则DE⊥平面PBCD1，∴∠DPE就是PD与平面PBC所成的角，
DP=，DE==
∴sin∠DPE==＞0
∵≤（当且仅当，即t=1时，取等号）
∴0＜≤
∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值的取值范围是
故答案为：