Question

△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5．P在平面ABC的射影为AB的中点D．
（1）求证：AB与PC不垂直；
（2）当∠APC=60°时，
①求三棱锥P-ABC的体积；
②求二面角P-AC-B的正切值．

Answer

（1）连CD，若AB⊥PC，则AB⊥CD，CD是线段AB的垂直平分线，则AC=BC，由此能够证明AB与PC不垂直．
（2）①由勾股定理，知∠ACB是直角，D是斜边AB的中点，CD=AD，PA=PC，△PAC为正三角形，由此能够求出三棱锥P-ABC的体积．
②取AC的中点E，连PE、DE，则∠PED就是所求二面角的平面角，由此能够求出二面角P-AC-B的正切值．
（1）证明：连CD，若AB⊥PC，则AB⊥CD，
∵CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，
这与AC≠BC矛盾．
故AB与PC不垂直．（4分）
（2）【解析】
①由勾股定理，∠ACB是直角，D是斜边AB的中点，
∴CD=AD，PA=PC，△PAC为正三角形，（6分）
PC=AC=3，CD=，，
∴（8分）
②取AC的中点E，连PE、DE，
则∠PED就是所求二面角的平面角，（10分）
由于DE=2，故所求角的正切值为（12分）