Question

如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E，F分别为线段PB，PC的中点，且AD=4，PA=AB=2
（1）求直线EC和面PAD所成的角
（2）求点P到平面AFD的距离．

Answer

（1）建立空间直角坐标系，求出平面PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EC和面PAD所成的角
（2）确定平面AFD的法向量，利用向量公式，可求点P到平面AFD的距离．
【解析】
（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）
∴E（1，0，1），F（1，2，1），
∵AB⊥平面PAD
∴平面PAD的法向量为=（2，0，0）
设直线EC与平面PAD所成的角为α，则sinα==
∴直线EC与平面PAD所成的角为arcsin；
（2）由（1）可知
设平面AFD的法向量为=（x，y，z），点P到平面AFD的距离为d
由，可得，∴取=（1，0，-1）
∵
∴d==．