Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，则AA₁与面ABD所成角的大小是    ．

Answer

正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长相等，点D是棱CC1的中点，设棱长为2，以ABC平面内AC顺时针旋转90°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AA1与面ABD所成角的大小．
【解析】
正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长相等，点D是棱CC1的中点，
设棱长为2，以ABC平面内AC顺时针旋转90°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA1为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2sin30°，2sin60°，0）=（，1，0），D（0，2，1），A1（0，0，2），
∴=（0，0，2），=（0，2，1），=（，1，0），
设平面ABD的法向量为=（x，y，z），
则，=0，
∴，解得=（，-3，6），
设AA1与面ABD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=||=．
∴θ=60°．
故AA1与面ABD所成角的大小是60°．
故答案为：60°．