Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长是2，D是侧棱CC₁的中点，直线AD与侧面BB₁C₁C所成的角为45°．
（1）求此正三棱柱的侧棱长；
（2）求二面角A-BD-C的平面角的正切值．

Answer

（1）取BC中点E，连AE，ED，由正三棱柱的几何特征及面面垂直的性质，可得AE⊥侧面B1C1CB，则直线AD与侧面B1C1CB所成的角为∠ADE，解Rt△AED可得此正三棱柱的侧棱长
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，可得∠AFE为二面角A-BD-C的平面角，解Rt△BEF和Rt△AEF可得二面角A-BD-C的平面角的正切值．
【解析】
（1）设正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为x．取BC中点E，连AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥侧面B1C1CB，且交线为BC．
∴AE⊥侧面B1C1CB，
连ED，则直线AD与侧面B1C1CB所成的角为∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°==，
解得x=2． 
∴此正三棱柱的侧棱长为2．
（2）过E作EF⊥BD于F，连AF，
∵AE⊥侧面B1C1CB
∴AF⊥BD
∴∠AFE为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又
BE=1，sin∠EBF===
∴EF=．
又AE=
∴在Rt△AEF中，
tan∠AFE==3
即二面角A-BD-C的平面角的正切值为3