Question

已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），点在椭圆C上，抛物线E以椭圆C的中心为顶点，F₂为焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l过点F₂，且交y轴于D点，交抛物线E于A，B两点．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②试探究：线段AB与F₂D的长度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直线l的方程．

Answer

（1）第一步设出椭圆C的方程为（a＞b＞0），因为椭圆C的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），可得c=1，把M代入标准方程，从而进行求解；
（2）由题意可得，抛物线E，y2=4x，设l：y=k（x-1），（k≠0），联立直线和抛物线，利用根与系数的关系，求出A，B两点和与积的关系①已知F1B⊥F2B，可以推出=1，利用此信息求出|AF2|-|BF2|；②假设|AB|=|F2D|，因为l过点F2，可以求出k的值，看是否存在，存在就求出直线l的方程．
【解析】
（1）由题意知，设椭圆C的方程为（a＞b＞0）
∴2a=+=4，
∴a=2，又c=1，∴b=，
∴椭圆c的方程为：；
（2）由题意可得，抛物线E，y2=4x，
设l：y=k（x-1），（k≠0），
⇒k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
△=16（k2+1）＞0，恒成立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1+x2=2+，x1x2=1，
①∵F1B⊥F2B，∴=1，
又，x1x2=1，
∴+4x2=x1x2，
∴x1-x2=4，
∴|AF2|-|BF2|=x1-x2=4；
②假设|AB|=|F2D|，
∵l过点F2，∴|AB|=x1+x2+p=4+，又D（0，-k），F2（1，0），
∵|DF2|=，
∵|AB|=|DF2|，∴4+=，
∴k4-16k2-16=0，∴k2=8+4或k2=8-4（舍去），
即k=±2，所以l的方程为：y=±2（x-1）时，有|AB|=|DF2|；