Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；
（3）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，即：x2-mlnx≥x2-x，转化为即：m≤在（1，+∞）上恒成立，从而得出实数m的取值范围．
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，即：k（x）=x-2lnx-a，设y1=x-2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，由图得实数a的取值范围．
（3）先假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，由图可知，只须函数f（x）=x2-mlnx在x=处取得极小值即可．
【解析】
（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，
即：x2-mlnx≥x2-x，
mlnx≤x，即：m≤在（1，+∞）上恒成立，
因为在（1，+∞）上的最小值为：e，
∴m≤e．
实数m的取值范围：m≤e
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，
即：k（x）=x-2lnx-a，
设y1=x-2lnx，y2=a，分别画出它们的图象，
由图得：
实数a的取值范围（2-2ln2，3-2ln3]；
（3）假设存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性，
由图可知，只须函数f（x）=x2-mlnx在x=处取得极小值即可．
∵f（x）=x2-mlnx
∴f′（x）=2x-m×，将x=代入得：
1-2m=0，
∴m=
故存在实数m=，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．