Question

已知双曲线W：，其中一个焦点到相应准线间的距离为，渐近线方程为
（1）求双曲线W的方程
（2）过点Q（0，1）的直线l交双曲线W与A，B两个不同的点，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率的取值范围．

Answer

（1）利用一个焦点到相应准线间的距离为，渐近线方程为，建立方程组，求得几何量，即可求得双曲线的方程；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可得到结论．
【解析】
（1）由已知可得，，∴
∴双曲线W的方程为；
（2）易知直线斜率存在，设AB的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
直线方程与双曲线方程联立，消去y可得（3-k2）x2-2kx-4=0
∴x1+x2=，x1x2=
由，可得k2＜4且k2≠3
∵坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，
∴＞0
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1=＞0
∴k2＞3
∴3＜k2＜4
∴直线l的斜率范围为（-2，-）∪（，2）．