Question

已知a，b，c∈（0，+∞），满足abc（a+b+c）=1，S=（a+c）（b+c），当S取最小值时，c的最大值为    ．

Answer

由已知整理可得，，然后利用基本不等式可求S的最小值及满足的条件：ab=1，然后由1=abc（a+b+c）=c（a++c）=c≥c2+2c，从而可得关于c的不等式，解不等式可求c的范围
【解析】
∵a＞0，b＞0，c＞0，且abc（a+b+c）=1，
∴
∴S=（a+c）（b+c）=ab+（a+b）c+c2==2
当且仅当ab=即ab=1时取等号
∴Smin=2
此时1=abc（a+b+c）=c（a++c）=c≥c2+2c
∴c2+2c-1≤0
∵c＞0
∴
∴c的最大值为
故答案为：