Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在棱BC上，AD⊥C₁D，
（1）设点M是棱BB₁的中点，求证：平面AMC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）设点E是B₁C₁的中点，过A₁E作平面α交平面ADC₁于l，求证：A₁E∥l．

Answer

（1）正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，能够推导出OM⊥平面AA1C1C，由此能够证明平面AMC1⊥平面AA1C1C．
（2）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，故AD∥A1E，所以A1E∥平面ADC1，由此能够证明A1E∥l．
【解析】
（1）∵正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，
∴AB=B1C1，BM=B1M，∠ABM=∠C1B1M，
∴AM=C1M．
∴△AMC1是等腰三角形．
取AC1的中点O，CC1的中点M，连接MO，OP，MP，
则MO⊥AC1，OP⊥CC1，MP⊥CC1，
∴CC1⊥平面OPM，
∵OM⊂平面OPM，∴CC1⊥OM．
∵CC1∩AC1=C1，
∴OM⊥平面AA1C1C，
∵OM⊂平面AMC1，∴平面AMC1⊥平面AA1C1C．
（2）∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是棱BB1的中点，E是B1C1的中点，
∴AD∥A1E，
∵AD⊂平面ADC1，A1E⊄平面ADC1，
∴A1E∥平面ADC1，
∵过A1E作平面α交平面ADC1于l，
∴A1E∥l．