Question

已知函数f（x）=2（x²-2ax）lnx-x²+4ax+1，
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e是自然对数的底数）；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）a=0时，f（x）=2x2lnx-x2+1，f′（x）=4xlnx，k=f′（e）=4e，f（e）=e2+1，由此能求出曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程．
（2）由f（x）=2（x2-2ax）lnx-x2+4ax+1，知x＞0，f′（x）=（4x-4a）lnx+2x-4a-2x+4a=（4x-4a）lnx，由f′（x）=0，得x=0，或x=1．由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）∵f（x）=2（x2-2ax）lnx-x2+4ax+1，
∴a=0时，f（x）=2x2lnx-x2+1，
∴x＞0，f′（x）=4xlnx，
k=f′（e）=4e，f（e）=e2+1，
∴曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程y-e2-1=4e（x-e），
整理得：y=4ex-3e2+1；
（2）∵f（x）=2（x2-2ax）lnx-x2+4ax+1，
∴x＞0，f′（x）=（4x-4a）lnx+2x-4a-2x+4a=（4x-4a）lnx，
由f′（x）=0，得x=0，或x=1．
当a≤0时，由f′（x）＞0，得x＞1；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴f（x）在（0，1）上减，在（1，+∞）上增；
当0＜a＜1时，
由f′（x）＞0，得x＞1或0x＜a；由f′（x）＜0，得a＜x＜1，
∴f（x）在（a，1）上减，在（0，a），（1，+∞）上增；
a=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无减区间；
a＞1时，
由f′（x）＞0，得x＞a，或0＜x＜1；由f′（x）＜0，得1＜x＜a，
∴f（x）在（0，1），（a，+∞）上增，在（1，a）上减．