Question

设f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）设是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）是否存在正整数a．使得对一切正整数n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由f（x）=ex-a（x+1），知f′（x）=ex-a，故f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，再由f（x）≥0对一切x∈R恒成立，能amax．
（2）由f（x）=ex-a（x+1），知g（x）=f（x）+=．由a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=ex--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），由此能求出实数m的取值范围．
（3）设t（x）=ex-x-1，则t′（x）=ex-1，从而得到ex≥x+1，取，用累加法得到．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n-1）n＜•（an）n．
【解析】
（1）∵f（x）=ex-a（x+1），
∴f′（x）=ex-a，
∵a＞0，f′（x）=ex-a=0的解为x=lna．
∴f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，
∴alna≤0，
∴amax=1．
（2）∵f（x）=ex-a（x+1），
∴g（x）=f（x）+=．
∵a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m，
∴g′（x）=ex--a≥2-a=-a+2=m，（a≤-1），
解得m≤3，
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
（3）设t（x）=ex-x-1，
则t′（x）=ex-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0时t′（x）＜0，f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．
∴t（x）最小值为f（0）=0，故ex≥x+1，
取，
得，
累加得．
∴1n+3n+…+（2n-1）n＜•（2n）n，
故存在正整数a=2．使得1n+3n+…+（2n-1）n＜•（an）n．