Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4，．
（1）求证：BD⊥平面PAD；
（2）求三棱锥A-PCD的体积．

Answer

（1）在△ABD中，推出AD⊥BD．通过平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，证明BD⊥平面PAD．
（2）过P作PO⊥AD交AD于O．说明PO⊥平面ABCD．在 Rt△ABD中，求出斜边AB边上的高为，求出S△ACD．然后求出VA-PCD=VP-ACD
（1）证明：在△ABD中，由于AD=2，BD=4，，
∴AD2+BD2=AB2∴AD⊥BD．（2分）
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD．（5分）
（2）【解析】
过P作PO⊥AD交AD于O．
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．（7分）
∵△PAD是边长为2的等边三角形，
∴．由（1）知，AD⊥BD，在 Rt△ABD中，
斜边AB边上的高为．（9分）
∵AB∥DC，∴．
∴．（12分）