Question

已知数列{a_n}满足a_n+1-2a_n=0，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=-a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整数n的最小值．

Answer

（Ⅰ）由题意知数列{an}是以2为公比的等比数列．再由a3+2是a2，a4的等差中项，可知a1=2，所以数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）由题设条件知，bn=-n•2n，由此可知Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n，2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1，再由错位相减法可知使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，
∴数列{an}是以2为公比的等比数列．
∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，
∴2a1+8a1=8a1+4，∴a1=2，
∴数列{an}的通项公式an=2n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n•2n，
∵Sn=b1+b2++bn，
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n①
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--（n-1）•2n-n•2n+1②
②-①得，Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
要使Sn+n•2n+1＞50成立，只需2n+1-2＞50成立，即2n+1＞52，n35
∴使Sn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．