Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）讨论f（1）和f（-1）是函数f（x）的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．

Answer

（Ⅰ）求出f'（x），因为函数在x=±1处取得极值，即得到f'（1）=f'（-1）=0，代入求出a与b得到函数解析式，然后讨论利用x的取值范围讨论函数的增减性，得到f（1）和f（-1）分别是函数f（x）的极小值和极大值；
（Ⅱ）先判断点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x，y），分别代入导函数和函数中写出切线方程，因为A点在切线上，把A坐标代入求出切点坐标即可求出切线方程．
（Ⅰ）【解析】
f'（x）=3ax2+2bx-3，依
题意，f'（1）=f'（-1）=0，
即
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
则f'（x）＞0，
故f（x）在（-∞，-1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
若x∈（-1，1），
则f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是减函数．
所以，f（-1）=2是极大值；f（1）=-2是极小值．
（Ⅱ）【解析】
曲线方程为y=x3-3x，点A（0，16）不在曲线上．
设切点为M（x，y），
则点M的坐标满足y=x3-3x．
因f'（x）=3（x2-1），
故切线的方程为y-y=3（x2-1）（x-x）
注意到点A（0，16）在切线上，有16-（x3-3x）=3（x2-1）（0-x）
化简得x3=-8，
解得x=-2．
所以，切点为M（-2，-2），切线方程为9x-y+16=0．