Question

设函数y=f（x），对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且当x＞0时f（x）＜0，
求：
（1）f（0）的值．          
（2）求证：f（x）为R上的奇函数．
（3）求证：f（x）为R上的单调减函数．
（4）f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer

（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0
（2）由（1）中f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，根据奇函数的定义可得结论．
（3）令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），结合x＞0时f（x）＜0，结合函数单调性的定义可得结论
（4）由（3）中函数的单调性可确定f（x）在[-3，3]上的最大值点，结合可得答案．
【解析】
（1）因为f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=0
则f（0+y）=f（0）+f（y）
得f（0）=0
（2）因为f（x+y）=f（x）+f（y）且f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
又因为x是任意实数
所以f（x）为R上的奇函数
（3）令x＞y
则f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
因为x＞y
所以x-y＞0
所以f（x-y）=f（x）-f（y）＜0
所以f（x）为R上的单调减函数
（4）由（3）知f（x）在[-3，3]上的最大值为f（-3）
f（-3）=f（-1）+f（-2）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=-f（1）-f（1）-f（1）=2
f（x）在[-3，3]上的最小值为f（3）
f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=-2．